From: Journal of Creation 20(2):123–127 August 2006 Browse this issue Subscribe to Journal of Creation

Нуждается ли логика в вере?

Меррилл Каллауэй

В дополнение к материальным предметам Бог сотворил абстрактные вещи. В их числе - логическое мышление со всеми вытекающими из него умозаключениями. В 1931 году Курт Гёдель доказал фундаментальную теорему формальной логики, имеющую далеко идущие последствия для всех систем, основанных на аксиомах или допущениях. Один из важнейших выводов из доказательства Гёделя заключается в том, что вера (не будучи самоочевидной аксиомой) является необходимой предпосылкой для поддержания последовательности любой системы, а если система последовательна, значит, она неизбежно неполна. Этот чрезвычайно важный для философии вывод соответствует многим смысловым паттернам Священного Писания.

«Всё чрез Него [Бога-Слово] начало быть, и без Него ничто не начало быть, что начало быть». (Евангелие от Иоанна 1:3).

Сайентизм и постмодернизм

Большинство под словом «всё» в этом стихе представляет себе конкретные, материальные объекты, такие как скалы, вода, солнце, луна. Дело в том, что наше мышление окрашено - а точнее, пропитано - философией материализма и соответствующим образом мыслей, набиравшим силу с середины XIX века. Однако «всё» может включать в себя и абстракции, такие как мышление или логика: не правда ли, вам приходилось думать о том, что же это такое - думать? Но в наше время абстракции обречены считаться нереальными. Беседуя с современным светским ученым, даже и не пытайтесь заговорить о вещах духовных. Он попросту заклеймит ваши аргументы в пользу сотворения мира как религиозные или в лучшем случае субъективные (подразумевая при этом «далекие от реальности») - конечно, в отличие от его собственных «объективных» (читай: «реальных») аргументов. Но будет ли он при этом прав? В конце концов, наука претендует на то, чтобы иметь дело исключительно с материальным миром. Наука, скажет вам этот ученый, не имеет ничего общего с верой; наука - это материальные факты и их объективный логический анализ. Прав он или нет? Ответ на этот вопрос зависит от того, насколько он верит, что Наука дает ответы на все вопросы. Здесь я провожу грань между наукой (с маленькой буквы «н») как научной методологией - и Наукой как определенным мировоззрением. В последнем случае Наука выступает под звучными псевдонимами Рационализм, Позитивизм, Прагматизм и так далее. Но все эти красивые слова, по сути, означают одно и то же: веру в то, что во вселенной нет ничего, кроме материи, и что материя содержит ответы на все вопросы. И эти ответы непременно будут найдены, нужно только как следует постараться - или выбить грант побольше. Барзун (Barzun) называет эту «Науку как мировоззрение» сайентизмом - «старая гекслианская философия, предполагающая, что за пределами науки ничего нет и что наука в состоянии дать ответы на все проблемы человечества. Это учение идет рука об руку с марксистским отрицанием того факта, что идеи имеют значение, и превращает науку в суррогат философии, искусства и религии»¹.

Постмодернистское мышление преимущественно берет начало от трех ведущих представителей материализма, ставших после 1859 года культовыми фигурами. Это Чарльз Дарвин, Карл Маркс и Рихард Вагнер. Хотя все они позиционировали себя как приверженцы подлинно «научных» методов, ни один не занимался настоящей наукой, зато все трое много философствовали. По иронии судьбы ни один из них не был оригинальным мыслителем: все они лишь соединяли и адаптировали более ранние идеи, в основном относящиеся к эпохе Просвещения (вторая половина XVIII века). Дарвин не случайно выбрал для названия своей книги «Происхождение видов» слово «происхождение». Оно намекает на то, что жизнь произошла - эволюционировала - путем естественного отбора. Однако доказать это Дарвину так и не удалось. Зато его философия, получившая название «дарвинизм», стала необходимой предпосылкой, обусловившей расцвет нацизма, расизма, эвтаназии и прочих отвратительных вещей². Страшные и совершенно некорректные теории привели к ужасам коммунизма, а так называемая «наука», с помощью которой он пытался подкреплять свои философские выводы, полностью сфальсифицирована. Вагнер же был мессией поклонения искусству. Разумеется, будучи творческой личностью, он ожидал такого поклонения и получал его. Подмена исторических истин голливудскими мифами - лишь часть наследия философии Вагнера. В сегодняшнем мире явственно ощущаются последствия материалистического мировоззрения, которое проповедовали эти трое.

Возможно ли христианское свидетельство в сфере Науки и философии?

Поскольку Наука и философия сейчас безнадежно запятнаны светским мышлением, возможно ли в их рамках христианское свидетельство? Вряд ли, пока те, кто верит в Науку (материализм) полагают, будто они обладают монопольным правом на истину, будто они одни способны постичь реальность и не нуждаются для этого в «подпорках» веры. Мы же, естественно считаем, что для того, чтобы хотя бы начать убеждать человека признать Иисуса Спасителем, нужно сначала найти хоть какую-то общую почву для разговора. Я вспоминаю апостола Павла в афинском ареопаге (Деяния Святых Апостолов 17:16 и далее). Сколько сил он тратил на убеждение скептиков, а в итоге уверовали лишь несколько человек (Деяния Святых Апостолов 17:34). Вряд этот результат можно назвать впечатляющим. Всякий, кто пытался начать разговор о сотворении мира с твердолобым светским ученым, закосневшем в эволюционистском мышлении, поймет, почему так произошло. Гораздо больше надежды на успех, когда беседуешь с теми, кто уже усомнился в теории эволюции, осознав, что в ней не обрести ни утешения, ни радости, ни будущего. Они хотят избавиться от этого тягостного впечатления, а вовсе не от научного мышления, и именно поэтому в беседах с такими людьми «креационное благовестие» имеет успех. Но есть и «тяжелые случаи», от которых невозможно отмахнуться. Как же находить общий язык с такими людьми?

Скептики-материалисты считают, что их логика превосходит нашу, христиан-креационистов, потому что они, по их словам, «не нуждаются в вере». Но что, если доказать, что логика, которая так необходима научному методу, не может последовательно функционировать без веры? Если это так, то все можно свести к «религии», и общей почвы будет - хоть отбавляй. Креационисты часто называют теорию эволюции (светской) религией. Эволюционисты, разумеется, с ними не согласны. Правы, конечно, креационисты, но как это доказать? В первую очередь нужно найти общую почву, общую точку отсчета - без предвзятых суждений, без предубеждения, - иначе дискуссия выродится в худшем случае в выкрикивание лозунгов, а в лучшем - в бессмысленное жонглирование терминами.

Формальная логика

Если мы хотим строго ограничить себя научными методами, то единственной общей точкой отсчета для дискуссии между креационистами и эволюционистами может стать так называемая «формальная логика». В рамках формальной логики существует теорема, способная помочь нам победить в этом споре.

Это фундаментальное формально-логическое доказательство было опубликовано в Вене (Австрия) в 1931 году. Автором его был 24-летний немецкоязычный математик Курт Гёдель. Работа его, которая в то время была мало кому понятна и не пользовалась всеобщим признанием, называлась «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем». Гёделя называли величайшим логиком XX века, но его гениальность и его труды в полной мере понятны лишь очень узкому кругу математиков. Из-за трудностей математики понять работу Гёделя в том виде, в каком она изложена, неспециалисту невозможно; однако можно понять кое-что из последствий гёделевской теоремы о неполноте - такое название она получила. (Мы в этой статье из соображений удобства будем называть ее просто «доказательством Гёделя».) Задача, которую я ставлю перед собой, - не объяснить это доказательство, а рассказать о некоторых его последствиях и результатов. Я попытаюсь в упрощенной форме разъяснить, что именно доказал Гёдель, - ровно в той степени, которая позволит нам рассмотреть некоторые интересные выводы.

Формальная логика имеет дело с аксиоматическими системами. Если вы не забыли курс геометрии в средней школе, то вы помните, что аксиома - это, выражаясь простыми словами, истина, принимаемая без доказательств, то есть являющаяся самоочевидной. С помощью аксиом можно также прийти к общему мнению о какой-либо предпосылке или предположении. Из аксиом мы выводим доказательства теорем, являющих собой логические следствия из анализа аксиом, лежащих в их основе. Если корректно следовать законам логики, то доказательство - это способность вывести теорему из одной или более аксиом (или ранее доказанных теорем) путем конечного количества логически верных шагов. Аксиоматическая система состоит из набора аксиом, из которых мы выводим теоремы этой системы. Удачный пример аксиоматической системы - эвклидова геометрия.

Научное мышление во многом зависит от логического рассуждения, начинающегося с начальных условий или предположений. Научный метод обычно следует определенной математической модели, которая сама по себе является аксиоматической системой. Многие научные открытия происходят именно потому, что математическая модель предсказывает некий результат, который впоследствии подтверждается экспериментально. Поэтому мы можем представить себе формальную логику как систему координат, на которой мы размещаем смыслы и ценности; но для обсуждения доказательства Гёделя нет смысла помещать туда какие-то ценности априори. Чтобы лучше представить себе то, о чем пойдет речь, я хочу охарактеризовать и перефразировать геометрически (в конце концов, практически все проходили в школе геометрию) то, что Гёдель сформулировал с помощью теории чисел.

Одна из фундаментальных аксиом эвклидовой геометрии гласит:

1. «У нас имеется прямая и точка вне этой прямой; через эту точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой». Мы помним, что аксиома - это истина, принимаемая без доказательств; но всегда ли истинна эта аксиома о всего одной параллельной прямой? Что, если мы попробуем изменить ее, чтобы рассмотреть все возможные варианты? Следовательно:
2. «У нас имеется прямая и точка вне этой прямой; через эту точку нельзя провести ни одну прямую, параллельную данной прямой».
3. «У нас имеется прямая и точка вне этой прямой; через эту точку можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной прямой».

Все мы знаем, что эвклидова геометрия полезна, что с ее помощь можно строить мосты и небоскребы. Мы знаем также, что эвклидова геометрия внутренне последовательна - она не содержит противоречий. Однако, как это ни поразительно, сформулированные нами аксиомы 2 и 3 тоже приводят к внутренне непротиворечивой геометрии! Аксиома 2 - это аксиома геометрии Римана, или эллиптической геометрии, а аксиома три - это аксиома Гильбертова пространства. Следовательно, можно заключить, что все эти три геометрические (аксиоматические) системы содержат одну аксиому, которая не является самоочевидной и, следовательно, противоречит самому определению аксиомы!

Формальная система

Для наших целей будет удобно перефразировать доказательство Гёделя, сказав, что он обобщил вышеизложенный вывод: каждая последовательная аксиоматическая формализованная система должна с необходимостью иметь в своем основании аксиому, которая не является самоочевидной! Возможно, это утверждение читателю будет легче всего понять. Меня интересуют в первую очередь не методы доказательства, а следствия из него, однако очень важно понять хотя бы общий смысл открытия Гёделя о логическом мышлении и его пределах. Переварив несколько определений, мы можем взглянуть на краткое резюме доказательства Гёделя.

Когда система полностью формализована, она полностью лишена смысла; ее аксиомы и теоремы - просто цепочки бессмысленных символов, соединенных между собой таким образом, что они подчиняются ряду правил трансформации - правил, определяющих, что такое полноценная теорема. Когда мы говорим, что система непротиворечива, это означает, что из ее аксиом не могут быть выведеныи утверждение (или теорема, или формула) P, и его отрицание (которое мы обозначим как ~P). Иными словами, противоречий нет. Мы должны также провести различие между математикой (например, выведением теорем) и нашим обсуждением математики. Мы можем сказать: «Математика - это математика, а то, что мы говорим о математике, - это метаматематика». Этот термин изобрел математик Дэвид Гильберт, современник Гёделя. Доказуемый означает, что утверждение можно вывести из основополагающих аксиом посредством ряда шагов с применением правил трансформации и логических умозаключений. Изоморфизм - это отображение на карте двух областей, назовем их A и B. Если A изоморфно B, то на карте получается соответствие один к одному, без искажений. От А можно перейти к В, сделать то-то и то-то и вернуться к эквивалентной точке в А, как если бы ты сделал эквивалентные вещи в А. Principia Mathematica - это трехтомный труд Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела по формальной логике и основаниям математики. Среди прочего, в этом труде вводится концепция и система обозначений полностью формализованной аксиоматической системы чисел. Мы назовем эту систему PM, но подразумевать будем любую аксиоматическую систему. Наконец, у нас есть концепция автореференции (в математике она называется рекурсией). Знаменитая рекурсия - «парадокс лжеца»: «Это высказывание ложно». Данное высказывание сообщает нечто о себе самом, а именно - парадоксальным образом утверждает собственную ложность. Если мы считаем это высказывание истинным, оно объявляет себя ложным, но если мы считаем его ложным, тогда оно истинно. Этот парадокс неразрешим. Как мы вскоре увидим, рекурсия и парадокс - в самом центре доказательства Гёделя.

Теорема Гёделя о неполноте

Доказательство Гёделя³ начинается с PM. PM, будучи полностью формализованы, позволяют характеризовать все отношения, теоремы и доказательства как цепочки символов, соединенных согласно правилам трансформации. Гёдель обнаружил изоморфизм между PM и положительными целыми числами, позволивший ему отображать символы, теоремы (или формулы) и доказательства (серии теорем) в PM до (очень больших) уникальных целых чисел. И наоборот, это отображение позволяет извлекать PM-положения, переменные, символы, теоремы, доказательства и т. д., не затронутые этими большими целыми числами (которые называют числами Гёделя). А теперь вот в чем фокус: Гёдель нашел способ характеризовать метаматематические высказывания как формулы PM и их тоже отображать на числа Гёделя. Система теперь обладает свойством автореференции; высказывания о PM могут быть охарактеризованы внутри самой системы. На этом этапе Гёдель ввёл нечто подобное парадоксу лжеца («Это высказывание ложно»). Он создал метаматематическое утверждение G с числом Гёделя g. Он построил G таким образом, что оно утверждает: «Формула, содержащая число Гёделя g, не доказуема» (то есть не выводится посредством правил PM). Но далее он показал, что G доказуемо тогда и только тогда, когда доказуемо его отрицание ~G. Это означает, что PM не являются непротиворечивыми. И наоборот, если они непротиворечивы, то ни G, ни ~G не может быть формально выведено из аксиом. Именно это подразумевают, говоря, что G формально неразрешимо. Но Гёдель показывает, что G (согласно его характеристике в PM) - истинное арифметическое утверждение, хотя и неразрешимое в рамках PM. Следовательно, PM неполны, то есть существуют истинные высказывания, которые не могут быть выведены из аксиом PM. Далее Гёдель доказал, что PM существенно неполны, то есть никогда не станут полными, сколько ни добавляй к набору их аксиом. И, наконец, Гёдель продемонстрировал, как вывести в PM формулу A, характеризующую метаматематическое высказывание «PM непротиворечивы». Затем он вывел формулу «A => G». Эта формула состоит из символов PM, означающих «если A, то G». Делая замену, получаем: «Если PM полны, то формула, включающая в себя число Гёделя g, не доказуема». Гёдель доказал, что формула «A => G» формально доказуема внутри PM, но A не доказуемо внутри PM. Следовательно, непротиворечивость PM никогда не может быть выведена из правил и аксиом PM.

«Вера же есть осуществление ожидаемого и уверенность в невидимом» (Послание к Евреям 11:1).

«А без веры угодить Богу невозможно; ибо надобно, чтобы приходящий к Богу веровал, что Он есть, и ищущим Его воздает» (Послание к Евреям 11:6).

«Тогда придите, и рассудим, говорит Господь» (Книга Пророка Исаии l:18).

Необходимость веры

Теперь мы переходим к главному моему выводу: теорема Гёделя о неполноте доказывает необходимость существования веры. Гёделевская концепция недоказуемости внутри формальной системы имеет следующий глубинный смысл: «невозможно попасть отсюда туда, используя исключительно логическое мышление и оставаясь в рамках данной системы». Священное Писание приводит меня к предположению, что результат, полученный Гёделем, можно распространить и на куда более широкую область. Хотя в науке редко используются формальные системы, состоящие из бессмысленных цепочек символов, верным будет утверждение, что все научные методы начинаются с допущений - как в аксиоматической системе. Сайентизм выставляет себя напоказ как светское божество всего и всяческого знания, но на самом деле все разделы этого знания сведены